Question

12．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（$\frac{3}{2}$，0），T（1，$\sqrt{3}$）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y=-x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（$\frac{3}{2}$，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（$\frac{1}{2}$，0）；T（1，$\sqrt{3}$）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②由OP≤2r=2，得出OP²≤4，设P（x，-x+2），由勾股定理得出OP²=x²+（-x+2）²=2x²-4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可；
（2）先由y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，求出A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），则$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧．

解答 解：（1）当⊙O的半径为1时．
①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；
N（$\frac{3}{2}$，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（$\frac{1}{2}$，0）；
T（1，$\sqrt{3}$）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP²≤4，设P（x，-x+2），
∴OP²=x²+（-x+2）²=2x²-4x+4≤4，
∴2x²-4x≤0，
x（x-2）≤0，
∴0≤x≤2．
当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；
当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；
∴0＜x＜2；

（2）∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．
设C（x，0）．
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，
所以AC≤4，
C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；
②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为C点到AB的垂线段AC长，AC最大值为2，
所以C点横坐标x≤8．
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．

点评 本题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，勾股定理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键．