Question

在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，
①BO与OD的长度有什么关系？请证明．
②BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

Answer 1

分析：①连接DE．根据三角形的中位线定理，得DE∥BC，DE=

1

2

BC．根据平行得到三角形ODE相似于三角形OBC，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
②连接DE．根据三角形的中位线定理，得DF∥BA，DF=

1

2

BA．根据平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：①解：BO=2OD．理由如下：
连接DE．
∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
∴△ODE∽△OBC，
∴

OB

OD

=

BC

DE

，
即BO=2OD．

②解：BC边上的中线一定过点O，
理由是：作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
∴DF∥BA，DF=

1

2

BA．
∴△MDF∽△MBA，
∴

DM

BM

=

FM

AM

=

DF

AB

=

1

2

，
即BD=3DM，
∵BO=

2

3

BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．

点评：此题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质．