Question

12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接CE，若AE=6，CE=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半径长及CD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用切线的性质结合平行线的性质得出∠CAD=∠ACO，进而利用等腰三角形的性质进而得出答案；
（2）利用勾股定理进而得出答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；

（2）解：连接BE、OC交于G，连接OE，
OG=$\frac{1}{2}$AE=3，OG⊥BE，
OE²-OG²=EG²=CE²-CG²，
设半径EO为：x，
x²-3²=（2$\sqrt{5}$）²-（x-3）²，
解得：x₁=5，x₂=-2（舍去），
则DC=EG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
故半径长为5，CD的长为4．

点评 此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确应用切线的性质定理是解题关键．