Question

13．已知：直线$y=-\frac{n}{n+1}x+\frac{{\sqrt{2}}}{n+1}$（n为整数）与两坐标轴围成的三角形面积为s_n，则s₁+s₂+s₃+…s_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 依次求出S₁、S₂、…，即可发现规律：S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，最后计算s₁+s₂+s₃+…+s_n即可．

解答 解：当n=1时，y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时，A（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{1×2}$，
同理可得，S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{2×3}$，
…
∴S_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{n}$×$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴s₁+s₂+s₃+…+s_n=$\frac{1}{1×2}$×$\frac{1}{2×3}$×…×$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．注意发现规律：S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$是解此题的关键．