Question

3．梯形ADCB中，AB∥CD，中位线MN与对角线AC，BD分别交于P，Q，设梯形ADCB的周长为L，四边形PDCQ的周长为L₁，若AB=2CD，求L₁：L的值．

Answer 1

分析 要求的两个四边形已经有AB=2CD，所以再寻求其它的边的关系，根据条件中的中点及角的关系先推出三角形全等，然后再结合条件和图形推出边的关系即可．

解答 解：如图所示，延长CQ交AB于H．

设CD=x，则AB=2x，
∵Q是BD的中点，
∴BQ=DQ．
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBH．
在△CDQ和△BQH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CQD=∠HQB}\\{BQ=DQ}\\{∠CDB=∠QBH}\end{array}\right.$，
∴△CDQ≌△BQH（AAS）．
∴CQ=QH，DC=BH．
∵P是AC的中点，
∴CP=PA．
∴QP=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$（AB-CD）=$\frac{1}{2}x$．
∵AB=2CD，
∴AB=2BH．
∴AH=HB．
∴CD=HA．
∴四边形CHAD是平行四边形．
∴CH=AD=2CQ．
同理可得BC=2DP．
∴L=AB+CD+AD+BC=2x+x+2CQ+2DP=3x+2CQ+2DP，L₁=QP+CD+CQ+DP=$\frac{1}{2}$x+x+CQ+DP=$\frac{3}{2}x$+CQ+DP．
∴L₁：L=$\frac{1}{2}$．

点评 该题目考查了梯形的性质、三角形全等的判定和性质，关键是分析作出辅助线并推出四边形DHBC是平行四边形．