Question

15．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可得出AB⊥BC、∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再结合∠B=90°，即可证出四边形BFEG是矩形；
（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；
（3）由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B=90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB，EG∥BF．
∵∠B=90°，
∴四边形BFEG是矩形；

（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB=40÷4=10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF，
∴四边形EFBG的周长C=2（EF+BF）=2（AF+BF）=20cm．

（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，
∵AF=EF，AB=10cm，
∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质以及矩形的周长，解题的关键是：（1）根据平行线的判定定理找出EF∥GB、EG∥BF；（2）根据正方形的性质找出AF=EF；（3）熟练掌握正方形的判定定理．