Question

16．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC
（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE=6，PC=4$\sqrt{2}$，求PF的长；
（3）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 （1）由△ADF≌DCE，推出DF=CE，由EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，推出DF=$\frac{1}{2}$DC，即可证明F点为DC的中点；
（2）设PF=a，由△DPF∽△APD∽△ADF，推出PF：DP=DP：AP=DF：AD=1：2，推出DP=2a，AP=4a，AF=DE=5a，推出PE=3a=6，可得a=2，由此即可解决问题；
（3）如图2中，作△ADP的外接圆⊙H，连接CH，PH，EF．由∠EPF=∠ECF=90°，推出P、E、C、F在以EF为直径的⊙O上，由PH+PC≥CH，PH=2，CH=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，即可推出C、P、H共线时，PC的值最小；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠APD=∠DPF=90°，
∴∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=EDC}\\{∠ADF=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌DCE，
∴DF=CE，
∵EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴F点为DC的中点；

（2）解：如图1中，设PF=a，
易知△DPF∽△APD∽△ADF，
∴PF：DP=DP：AP=DF：AD=1：2，
∴DP=2a，AP=4a，AF=DE=5a，
∴PE=3a=6，
∴a=2，
∴PF=2．


（3）解：如图2中，作△ADP的外接圆⊙H，连接CH，PH，EF．

∵∠EPF=∠ECF=90°，
∴P、E、C、F在以EF为直径的⊙O上，
∵PH+PC≥CH，PH=2，CH=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴C、P、H共线时，PC的值最小，最小值为2$\sqrt{5}$-2．
故答案为2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用辅助圆，根据两点之间线段最短，解决最值问题，属于中考压轴题．