Question

9．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=$\frac{1}{4}$AD，请你判断△EFC的形状并说明理由．

Answer 1

分析 因为正方形ABCD的边长为4，易得AF=1，则FD=3，DC=BC=4，AE=EB=2；在Rt△AEF、Rt△DFC，Rt△EBC中，利用勾股定理求出EF、EC、FC的长，再根据勾股定理的逆定理解答．

解答 解：△EFC为直角三角形．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AF=1，FD=3，DC=BC=4，AE=EB=2；
在Rt△AEF中，EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
在Rt△DFC中，FC=$\sqrt{F{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5；
在Rt△EBC中，EC=$\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2 $\sqrt{5}$．
∴EC²+EF²=FC²，
∴△EFC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理解答是解答此题的关键．