Question

观察下列等式：回答问题：
①

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

    
 ②

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

③

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想

1+ 1 42 + 1 52

=

 

；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：规律型

分析：根据观察，可得规律：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

．

解答：解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想

1+ 1 42 + 1 52

=1

1

20

，
故答案为：1

1

20

；
（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

．
（3）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

[n(n+1)]2+(n+1)2+n2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)+1]2 [n(n+1)]2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=

n(n+1)+(n+1)-n

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

．

点评：本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．