Question

16．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC，A（-3，0）、B（0，1）． 
（1）求C点；
（2）将△ABC沿x轴正方向平移，B、C两点的对应点E、F正好落在某反比例图象上．
①求这个反比例的解析式； 
②求x轴上点G坐标，使△DFG面积与△DEF面积相等；
③是否存在y轴正半轴上点P、反比例函数（第一象限）图象上的点Q，使得以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P和点Q坐标；反之说理．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点F，易证△ACG≌△BCH，则四边形OGCH是正方形，据此即可求得AG的长，则C的坐标即可求解；
（2）①设将△ABC沿x轴正方向平移a个单位长度，则F的坐标是（-2+a，2），E的坐标是（a，1）．设反比例函数的解析式是y=$\frac{k}{x}$．根据E和F都在反比例函数图象上，即可列方程求解；
②首先求得△DEF的面积，设DG=b，根据三角形的面积公式求得b的值，则G的坐标即可求得；
③分成DF∥PQ和DF是平行四边形的对角线两种情况进行讨论即可求解．

解答 解：（1）作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点F，则∠GCH=90°．
∵∠C=90°，∠GCH=90°，
∴∠ACG=∠BCH，
在△ACG和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BCH}\\{∠AGC=∠BHC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCH．
∴CG=CH，AG=BH．
∴四边形OGCH是正方形．
设AG=x，则BH=x，3-x=1+x，
解得：x=1．
则OG=CH=2，
∴C的坐标是（-2，2）；
（2）①设将△ABC沿x轴正方向平移a个单位长度，则F的坐标是（-2+a，2），E的坐标是（a，1）．
设反比例函数的解析式是y=$\frac{k}{x}$．
则2（-2+a）=a=k，
解得：a=k=4．
则函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
②在直角△ACG中，AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则S_△ACB=S_△DEF=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}$）²=$\frac{5}{2}$．
F的坐标是（2，2），D的坐标是（1，0）．
设DG=b，则$\frac{1}{2}$×2b=$\frac{5}{2}$，
解得：b=$\frac{5}{2}$，
则G的坐标是（-$\frac{3}{2}$，0）或（$\frac{7}{2}$，0）；
③当DF∥PQ时，D的坐标是（1，0），
则Q的横坐标是2-1=1，
把x=1代入y=$\frac{4}{x}$得y=4，
则Q的坐标是（1，4），P的纵坐标是4-2=2，
则P的坐标是（0，2）；
当DF是平行四边形的对角线时，DF的中点是（$\frac{3}{2}$，1），
则F的横坐标是3，
把x=3代入y=$\frac{4}{x}$得y=$\frac{4}{3}$，
则Q的坐标是（3，$\frac{4}{3}$）．
设P的纵坐标是c，则
$\frac{1}{2}$（c+$\frac{4}{3}$）=1，
解得：c=$\frac{2}{3}$，
则P的坐标是（0，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了一次函数与三角形的全等的判定与性质以及平行四边形的判定与性质的综合应用，正确理解平行四边形的性质是关键．