Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O交BC于F，BD平分∠ABC交AC于点D，且⊙O过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=3，AO=4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求图中两部分的阴影面积和．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）连结OD，由BD平分∠ABC得∠OBD=∠CBD，而∠OBD=∠ODB，而∠ODB=∠CBD，所以OD∥BC，得到∠ODA=∠C=90°，然后根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，证明△AOD∽△ABC，利用相似比可计算出圆的半径R；
（3）连结EF、DF，在Rt△AOD中，OD=2，OA=4，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，再利用圆周角定理由BE为直径得∠EFB=90°，则EF∥BE，所以∠BEF=∠A=30°，得到BF=

1

2

BE=2，易得四边形BODF为平行四边形，加上OB=OD，可判断四边形BODF为菱形，所以BF=DF=OD=2，于是有S_弓形BF=S_弓形DF，FC=BC-BF=1，在Rt△DCF中，利用勾股定理计算出DC=

3

，然后利用图中两部分的阴影面积和=S_△DCF进行计算．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OD

BC

，即

4

4+R

=

R

3

，
整理得R²+4R-12=0，解得R₁=2，R₂=-6（舍去），
∴⊙O的半径为2；
（3）解：连结EF、DF，如图，
在Rt△AOD中，OD=2，OA=4，
∴∠A=30°，
∵BE为直径，
∴∠EFB=90°，
∴EF∥BE，
∴∠BEF=∠A=30°，
∴BF=

1

2

BE=2，
∴BF∥OD，BF=OD，
∴四边形BODF为平行四边形，
而OB=OD，
∴四边形BODF为菱形，
∴BF=DF=OD=2，
∴S_弓形BF=S_弓形DF，FC=BC-BF=3-2=1，
在Rt△DCF中，DC=

DF2-FC2

=

3

，
∴图中两部分的阴影面积和=S_△DCF=

1

2

×1×

3

=

3

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质以及扇形的面积公式．