Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点A、B的坐标设抛物线交点式解析式y=a（x+1）（x-3），然后把点C的坐标代入求出a的值即可得解；再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；
（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6，然后设点P的坐标为（p，-2p+6）再根据四边形PMAC的面积等于△AOC和梯形COMP的面积之和列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3），
即y=-x²+2x+3，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，
由B（3，0），D（1，4）得

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
∵点P在直线PD上，
∴设P（p，-2p+6），
则OA=1，OC=3，OM=p，PM=-2p+6，
四边形PMAC的面积=

1

2

×1×3+

1

2

×（-2p+6+3）×p，
=-p²+

9

2

p+

3

2

，
=-（p-

9

4

）²+

105

16

，
∵1＜

9

4

＜3，
∴当p=

9

4

时，四边形PMAC的面积取得最大值为

105

16

，
此时，-2p+6=-2×

9

4

+6=

3

2

，
点P的坐标为（

9

4

，

3

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，不规则四边形的面积的求解，二次函数的最值问题，（1）利用二次函数交点式形式求解更简便，（2）把不规则四边形的面积分成三角形和梯形两个部分求解是解题的关键．