Question

5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是DC和BC两边上的动点且始终保持∠EAF=45°，连接AE与AF交DB于点N，M．下列结论：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周长始终保持不变其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN²+BM²=NM²．其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①根据题意证明∠ANB=∠MAD，又因为∠ADM=∠ABN=45°，AA证明△ADM∽△NBA；
②把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AEF≌△AGF，得到DG=EF，求出△CEF的周长；
③根据平行线的性质判断即可；
④把△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AGF，根据勾股定理证明结论．

解答 解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，
∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，
∴△ADM∽△NBA，①正确；
②如图1，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴DG=EF，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正确；
③当MN∥EF时，AE×AM=AF×AN，
∵MN与EF的位置关系不确定，∴③错误；
④如图2，把△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，则BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，
在△NAM和△HAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AH}\\{∠NAM=∠HAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴MN=MH，
又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，
∴BH²+BM²=MH²，即DN²+BM²=NM²，④正确．
故选：B．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的知识，正确进行旋转变换、灵活运用相关的性质定理是解题的关键．