Question

13．你能化简（x-1）（x²⁰¹⁷+x²⁰¹⁶+x²⁰¹⁵+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
由此猜想：第101个式子（x-1）（x¹⁰¹+x¹⁰⁰+…+x+1）=x¹⁰²-1；．
（2）请你利用上面的猜想，化简：
2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+1．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）根据得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
所以第101个式子=（x-1）（x¹⁰¹+x¹⁰⁰+…+x+1）=x¹⁰²-1；
（2）2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+1=（2-1）（2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+…+2+1）=2²⁰¹⁸-1；
故答案为：x²-1；x³-1；x⁴-1；（x-1）（x¹⁰¹+x¹⁰⁰+…+x+1）=x¹⁰²-1．

点评 此题考查了整式混合运算的应用，找出其中的规律是解本题的关键．