Question

3．计算：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+50}$．

Answer 1

分析 先根据高斯求和公式把算式变形为$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{50×51}$，然后再根据分数的拆项公式$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$拆项后通过加减相互抵消即可简算．

解答 解：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+50}$
=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{50×51}$
=2×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{50}$-$\frac{1}{51}$）
=2×（1-$\frac{1}{51}$）
=2×$\frac{50}{51}$
=$\frac{100}{51}$．
故答案为：$\frac{100}{51}$．

点评 本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握高斯求和公式和分数拆项公式$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$的综合应用．