Question

5．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC的中点，E是线段BA上一动点（与点B、A不重合），直线DE交CA的延长线于F点．
（1）当DF=DC时，求AF的值；
（2）设BE=x，AF=y．
①求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
②当△AEF为以FA为腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）利用等边对等角得到两对角相等，等量代换得到∠B=∠F，再由公共角相等，得到△ABC∽△DFC，由相等得比例求出CF的长，由CF-AC即可AF的长；
（2）取AB的中点M，连接DM，再由D为BC中点，得到MD与AC平行，MD为AC的一半，得到△AFE∽△MDE，由相似得比例即可求出y关于x的函数解析式；
（3）分两种情况考虑：点E位于线段AB上和BA的延长线上时，分别求出x的值，即可得到结果．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF=DC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠F，
∴△ABC∽△DFC，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{BC}{FC}$，
∴$\frac{10}{8}$=$\frac{16}{FC}$，
∴CF=12.8，
∴AF=CF-AC=12.8-10=2.8；
（2）①取AB的中点M，连接DM，如图所示，

∵D是边BC的中点，
∴DM∥AC，DM=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴△AFE∽△MDE，
∴$\frac{AF}{DM}$=$\frac{AE}{ME}$，
∴$\frac{y}{5}$=$\frac{10-x}{x-5}$，
∴y=$\frac{5（10-x）}{x-5}$，函数定义域为5＜x＜10；
②当点E位于线段AB上时，如图所示：

若AF=AE，即$\frac{5（10-x）}{x-5}$=10-x，
解得：x=10（舍去），
若AF=EF，cos∠FAE=$\frac{7}{25}$，
则有5×$\frac{7}{25}$=$\frac{1}{2}$•（x-5），
解得：x=$\frac{39}{5}$，
综上所述，当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，x=$\frac{39}{5}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：等腰三角形的性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．