Question

4．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x=0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C的坐标；
（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=2}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x-5；
（2）∵对称轴为直线x=2，A（-1，0），
∴B（5，0），
当x=0时，y=-5，
∴C（0，-5），
（3）∵∠BOC=90°，
∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，
由题意得：OB=5，OC=5，
由勾股定理得；BC=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
S=π•$（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{25}{2}$π，
答：过O，B，C三点的圆的面积为$\frac{25}{2}$π．

点评 本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x=0时，求抛物线与y轴的交点；令y=0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．