Question

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD相交于点E，连接B′D．若P为AC的中点，求证：PE⊥B′D．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：首先证明EP⊥AC，进而证明DB′∥AC，问题即可解决．

解答：解：由题意得：
∠EAC=∠BAC，∠AB′C=∠B=90°；
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC∥AB，∠ADC=90°；
∴∠ECA=∠BAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC；而AP=PC，
∴EP⊥AC；
∵∠ADC=∠AB′C=90°，
∴D、A、C、B′四点共圆，
∴∠B′DC=∠B′AC，而∠B′AC=∠ECA，
∴∠B′DC=∠ECA，
∴DB′∥AC，而EP⊥AC，
∴PE⊥B′D．

点评：该题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以矩形的性质、等腰三角形的判定、四点共圆的判定及其应用等几何知识点问核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．