Question

1．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，D为BC延长线上一点，连续AD，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连续FC、EC，若AC=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{10}$．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据SAS可以证明△ABD≌△ACF．
（2）作AH⊥BC于H，AN⊥CF于N，EM⊥CF于M．首先证明CF⊥BD，再证明△ADH≌△AFN≌△FEM，推出EM=FN=DH=3，CF=FN+CN=4，根据S_△EFC=$\frac{1}{2}$•CF•EM计算即可．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
∴在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，

（2）解：作AH⊥BC于H，AN⊥CF于N，EM⊥CF于M．
∵△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
又∵直角△ABC中，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即∠BCF=90°，
∴CF⊥BD．
∴四边形AHCN是矩形，
∵AB=AC=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{10}$，
∴AH=BH=CN=1，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=3，
∵AD=AF=EF，∠AHD=∠ANF=∠EMF=90°，∠FAN=∠DAH=∠EFM，
∴△ADH≌△AFN≌△FEM，
∴EM=FN=DH=3，
∴CF=FN+CN=4，
∴S_△EFC=$\frac{1}{2}$•CF•EM=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．