Question

（2012•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A、O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F，交AB于点C．
（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）连接AE、AF，如果

AF

=

FB

，并且CF=16，FE=50，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OB，得出∠HCB=∠HBC，以及∠ACD+∠OAB=90°，∠OBA+∠HBA=90°，再根据切线的判定定理得出即可；
（2）利用相似三角形的判定得出△AFE∽△CFA，即可得出

AF

CF

=

FE

FA

，即AF²=CF•FE，求出即可．

解答：解：（1）HB是⊙O的切线，理由如下：
连接OB．
∵HC=HB，∴∠HCB=∠HBC，
又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，
∵CD⊥OA，∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠OAB=90°，
∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90°，
∴HB⊥OB，
∴HB是⊙O的切线；
             
（2）∵

AF

=

FB

，
∴∠FAB=∠AEF，
又∵∠AFE=∠CFA，
∴△AFE∽△CFA，
∴

AF

CF

=

FE

FA

，
∴AF²=CF•FE，
∵CF=16，FE=50，
∴AF=

16×50

=20

2

．

点评：此题主要考查了切线的判定定理以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确利用常用辅助线连接BO得出∠OBA+∠HBA=90°是解题关键．