Question

16．（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：AD=DE；

（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形，得到△ABC∽△ADE，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ECD=30°，
在△AFD与△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠DCE}\\{DF=CD}\\{∠ADF=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；

（2）AD=DE；
证明：如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠ADF=∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠DCE}\\{DF=CD}\\{∠ADF=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；

（3）解：∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ABC∽△ADE，
在R_t△CDO中，$\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADE}}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．