Question

已知：如图，∠BCP=∠A，∠AHB=∠APH，
（1）求证：△BCP∽△HAP；
（2）若AP：PB=2：3，且C为HB的中点，求HA：BC的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠AHB=∠APH，∠A为公共角，可证得△HAP∽△BAH，所以∠B=∠AHP，结合条件可证得△BCP∽△HAP；
（2）由∠BCP=∠A，∠B为公共角可证得△BCP∽△BAH，所以△HAP∽△BHA∽△BCP，AP：PB=2：3，BC=CH，所以设AP=2x，PB=3x，BC=CH=y，则BA=5x，BH=2y，由BP：BH=BC：BA，可求得x与y之间的关系，且HA：BC=BC：BA=y：5x，代入可求得．

解答：（1）证明：因为∠AHB=∠APH，且∠A为公共角，
所以△HAP∽△BAH，
所以∠B=∠AHP，
又因为∠BCP=∠A，
所以△BCP∽△HAP；
（2）解：因为∠BCP=∠A，且∠B为公共角
所以△BCP∽△BAH，
所以△HAP∽△BHA∽△BCP，
因为AP：PB=2：3，且BC=CH，
所以设AP=2x，PB=3x，BC=CH=y，则BA=5x，BH=2y，
由BP：BH=BC：BA，
所以3x：2y=y：5x，
解得y=

30

2

x．
所以HA：BC=BC：BA=y：5x=

30

2

x：5x=

30

：10．

点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是搭建桥梁，即找一个中间三角形进行过渡，从而达到证明的目的．