Question

平面直角坐标系中，⊙O的半径等于5，弦DH⊥x轴于K点，DH=8．
（1）如图1，求点H的坐标；
（2）如图2，点A为⊙O和x轴负半轴的交点，P为弧AH上任意一点，连接PK，PH，AM⊥PH交HP的延长线于点M，求

PD-PH

PM

的值；
（3）如图3，高

PD-PH

PM

与x轴正半轴交点为S，点E、F是线段OS上的动点（不与点S重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，当E、F两点在OS上运动时（不与点S重合），∠OGC+∠DOG的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其变化范围．

Answer 1

分析：（1）连接OH，根据勾股定理求得OC=3，从而得出点H的坐标；
（2）连接AD、AH，作AN⊥PD于N，由邻补角的定义，得∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，可以证明△ADN≌△AHM，由垂径定理可得AD=AE，则△ADN≌△AHM，从而得出求

PD-PH

PM

的值；
（3）当E、F两点在OS上运动时（不与点S重合），∠OGC+∠DOG的值不发生变化，由题意可得，弧DS=弧SH，
则∠DOG=∠HOG，进而得出弧BH=弧CH，故OH⊥BC，由∠OGC+∠HOG=90°，故∠OGC+∠DOG=90°．

解答：解：（1）连接OH（如图1），
∵DH⊥x轴，
∴DC=DH=

1

2

DH=4，
根据勾股定理OC²+HC²=OH²，
∴OC=3，
∴H（3，-4）；

（2）连接AD、AH，作AN⊥PD于N，（如图2）
∵∠APM+∠APH，
=∠ADH+∠APH=180°，
∴∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，
而AN⊥PD，AM⊥PH，
∴AM=AN，
又∵AP=AP，
∵在Rt△APM和Rt△APN中，

AM=AN AP=AP

，
∴△APM≌△APN（HL），
由垂径定理可得：

AD

=

AH

，
∴AD=AH，
∵在Rt△ADN和Rt△AHM中，

AD=AH AM=AN

，
∴△ADN≌△AHM（HL），
∴PM=PN，DN=HM，
∴PD-PH=2PM，
∴

PD-PH

PM

=2；

（3）当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），∠OGC+∠DOG是定值．理由如下：
过点D作DK⊥EF于K，并延长DK交⊙O于H，连接OH，交BC于T，（如图3）
则弧DS=弧SH，
∴∠DOG=∠HOG，
∵△DEF为等腰三角形，DK⊥EF，
∴DH平分∠BDC，
∴弧BH=弧CH，
∴OH⊥BC，
∴∠OGC+∠HOG=90°，
∴∠OGC+∠DOG=90°．

点评：本题综合考查了勾股定理、全等三角形的判定、垂径定理和圆周角定理．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．