Question

4．P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任一点，过B作BG⊥AP于G，过C作CE⊥AP于E，连BE．
（1）如图1，若P是BC的中点，求CE的长；
（2）当PB=4$\sqrt{2}$-4时，△BCE是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AP，再由面积关系求出BG，然后证明△BPG≌△CPE，根据全等三角形的对应边相等即可求出CE；
（2）连接AC，延长AB交CE的延长线于M，连接BE，先证EB=EM=EC，根据勾股定理求出AC，得出AM=AC，求出BM，再证明△ABP≌△CBM，由全等三角形的对应边相等即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABP=90°，
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$AP•BG=$\frac{1}{2}$AB•BP，
∴BG=$\frac{AB•BP}{AP}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在△BPG和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠CEP}&{\;}\\{∠BPG=∠CPE}&{\;}\\{BP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△CPE（AAS），
∴CE=BG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（2）连接AC，延长AB交CE的延长线于M，连接BE，如图所示：
∵EB=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠M=90°，
∴∠3=∠M，
∴EB=EM=EC，
∵AE⊥CM，
∴AM=AC=4$\sqrt{2}$，
∴BM=4$\sqrt{2}$-4，
又∵∠M+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠M，
在△ABP和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBM}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBM=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBM（ASA），
∴PB=BM=4$\sqrt{2}$-4．
故答案为：4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰三角形是解决问题的关键．