Question

12．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度α（α为锐角）后得到△AB′C′．使得B′C′交AC边于点D，点D不与点B′重合，则有下列结论：①∠ADB′=45°+α；②∠α＜45°；③若AD的长为整数，则AD等于7cm；④当α=15°时，阴影部分的面积为6$\sqrt{3}$cm²．其中正确结论的序号是①②④（把所有正确的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得AC=$\sqrt{2}$AB=6$\sqrt{2}$，∠BAC=∠C=45°，再利用旋转的性质得∠BAB′=α，AB′=AB=6，则可对②进行判断；由于∠B′AD=45°-α，则利用互余可对①进行判断；利用AD＞AB′，AD＜AC得到6＜AD＜6$\sqrt{2}$，则可对③进行判断；当α=15°时，∠B′AD=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到B′D=2$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．

解答 解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=6$\sqrt{2}$，∠BAC=∠C=45°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转一定角度α（α为锐角）后得到△AB′C′．
∴∠BAB′=α，AB′=AB=6，
即∠α＜45°，所以②正确；
∴∠B′AD=45°-α，
∴∠ADB′=90°-∠B′AD=90°-（45°-α）=45°+α，所以①正确；
∵AD＞AB′，AD＜AC，
∴6＜AD＜6$\sqrt{2}$，
∴若AD的长为整数，则AD等于7cm或8cm，所以③错误；
当α=15°时，∠B′AD=30°，
∴B′D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$（cm²），所以④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．