已知.如图1.在平面直角坐标系中.过点A的抛物线C1的函数表达式为y=ax2+bx．(1)求抛物线C1的函数表达式及其对称轴,(2)如图2.点A.B关于原点的对称点分别为点A1.B1.分别连接AB.BA1.A1B1.B1A．①请直接写出过点A1.O.B1的抛物线C2的函数表达式,②请判断四边形ABA1B1的形状.并说明理由,(3)若在四边形ABA1B1内部的抛物线C1或抛物线C2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知，如图1，在平面直角坐标系中，过点A（-2，2）、点B（4，4）的抛物线C₁的函数表达式为y=ax²+bx．
（1）求抛物线C₁的函数表达式及其对称轴；
（2）如图2，点A、B关于原点的对称点分别为点A₁、B₁，分别连接AB、BA₁、A₁B₁、B₁A．
①请直接写出过点A₁、O、B₁的抛物线C2的函数表达式；
②请判断四边形ABA₁B₁的形状，并说明理由；
（3）若在四边形ABA₁B₁内部的抛物线C₁或抛物线C₂的对称轴上存在点P，使点B到直线AP的距离等于点O到直线AP的距离的2倍，请直接写出点P的坐标．

分析（1）把点A（-2，2），点B（4，4）代入y=ax²+bx，得到方程组，求出a，b，即可求得抛物线C₁的函数表达式，进而根据对称轴公式即可求得对称轴；
（2）①根据关于原点对称点的规律，可得A₁、O、B₁，根据待定系数法，可得答案；
②根据平行四边形的判定，可得答案；
（3）如图3中，连接OB，设直线AP交OB于K．作ON⊥AP于N，BM⊥AP于M．由ON∥BM，BM=2ON，推出$\frac{OK}{BK}$=$\frac{ON}{BM}$=$\frac{1}{2}$，由B（4，4），推出K（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），由A（-2，2），推出直线AK的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{8}{5}$，由抛物线C₁的对称轴x=$\frac{1}{2}$，所以x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{3}{2}$，可得P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），当点P′在抛物线C₂的对称轴x=-$\frac{1}{2}$上时，y=$\frac{17}{10}$，可得P′（-$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{10}$），由此即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）过点A（-2，2），点B（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=2}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x；
∴抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-\frac{1}{3}}{-2×\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{2}$．

（2）①∵抛物线经过A₁（2，-2），B（-4．-4），（0，0）
∴抛物线C₂：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x．
②结论：四边形ABA₁B₁是平行四边形．
理由：如图2中，连接OA、OA₁、OB、OB₁．

∵A与A₁，B与B₁关于原点对称，
∴OA=OA₁，OB=OB₁，且A、O、A₁共线，B、O、B₁共线，
∴四边形ABA₁B₁是平行四边形．

（3）如图3中，连接OB，设直线AP交OB于K．

作ON⊥AP于N，BM⊥AP于M．
∵ON∥BM，BM=2ON，
∴$\frac{OK}{BK}$=$\frac{ON}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
∵B（4，4），
∴K（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），∵A（-2，2），
∴直线AK的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{8}{5}$，
∵抛物线C₁的对称轴x=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
当点P′在抛物线C₂的对称轴x=-$\frac{1}{2}$上时，y=$\frac{17}{10}$，
∴P′（-$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{10}$），
综上所述，点P坐标（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{10}$）．