Question

7．已知：抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0），C（0，-3）
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，-x²+4x-3），则F（x，x-3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．

解答 解：（1）抛物线的解析式：y=-x²+4x-3，
∴由y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．
（2）存在．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（x，-x²+4x-3），则F（x，x-3），
（2）∴PF=（-x²+4x-3）-（x-3）=-x²+3x=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，PE有最大值为$\frac{9}{4}$．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为$\frac{9}{4}$．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；
直线BC的解析式为：y=x-3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，
∴F（1，-2），
∴AF=2．…
①当0≤t≤$\sqrt{2}$时，如答图1-1所示．

此时四边形AFF′A′为平行四边形．
设A′F′与x轴交于点K，则AK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$\sqrt{2}$t；
②当$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$时，如答图1-2所示．

设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．
∴S=S_{?PC′F′A′}-S_△A′DQ=2×1-$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²=-$\frac{1}{2}$t²+$\sqrt{2}$t+1；
③当2$\sqrt{2}$＜t≤3$\sqrt{2}$时，如答图1-3所示．

设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．
∵BC=3$\sqrt{2}$，CC′=t，
∴BC′=3$\sqrt{2}$-t．
∴S=S_△BC′Q=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-3$\sqrt{2}$t+9．
∴综上所述，S与t的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}t（0≤t≤\sqrt{2}）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\sqrt{2}t+1（\sqrt{2}＜t≤2\sqrt{2}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-3\sqrt{2}t+9（2\sqrt{2}＜t≤3\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．注意分类讨论的数学思想及图形面积的计算方法．