Question

（2013•江都市一模）如图，在梯形ABCD中，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3

5

，点O为BC边上的动点，连接OD，以O为圆心，OB为半径的⊙O分别交射线BA于点P，交射线OD于点M，交射线B C于N，连接OP．
（1）求CD的长．
（2）当BO=AD时，求BP的长．
（3）在点O的运动过程中，
①当∠MON=

1

2

∠POB时，求⊙O的半径．
②当∠MON=∠POB时，求⊙O的半径（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥BC，根据cosB=

3

5

=

BE

AB

求出BE=3，由勾股定理求出AE即可；
（2）过点O作OH⊥AB于H，BH=HP，根据cosB=

BH

BO

求出BH=

9

5

，根据垂径定理求出BP=2BH，代入求出即可；
（3））①设⊙O的半径为r，当∠MON=

1

2

∠POB时，有∠BOH=∠MON，此时tan∠BOH=tan∠MON，得出

3

4

=

4

6-r

，求出即可；
②过P作PQ⊥OB于Q，设BO=OP=r，根据cosB=

BQ

BP

=

BH

OB

=

3

5

，求出BH=

3

5

r，由勾股定理求出OH=

4

5

r，求出BP=2BH=

6

5

r，BQ=

3

5

BP=

18

25

r，PQ=

4

5

BP=

24

25

r，根据tan∠MON=tan∠BOP得出

24 25 r

r- 18 25 r

=

4

6-r

，求出方程的解即可．

解答：解：（1）过点A作AE⊥BC，
∵在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=

3

5

=

BE

AB

，
∴BE=3，由勾股定理得：AE=4，
∵CD⊥BC，AE⊥BC，
∴CD∥AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴CD=AE=4．

（2）∵CD⊥BC，BC=6，
∴AD=EC=BC-BE=3，
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB于H，
则BH=HP，
∵cosB=

BH

BO

，
∴BH=3×

3

5

=

9

5

，
∵OH⊥BP，OH过O，
∴BP=2BH=

18

5

；

（3）①设⊙O的半径为r，
∵OH⊥BA，PO=OB，
∴∠BOH=

1

2

∠BOP，
当∠MON=

1

2

∠POB时，有∠BOH=∠MON，
此时tan∠BOH=tan∠MON，
∴

3

4

=

4

6-r

，
∴r=

2

3

，
即⊙O的半径为

2

3

；
②过P作PQ⊥OB于Q，
设BO=OP=r，
∵cosB=

BQ

BP

=

BH

OB

=

3

5

，
∴BH=

3

5

OB=

3

5

r，由勾股定理得：OH=

4

5

r，
∴BP=2BH=

6

5

r，
∴BQ=

3

5

BP=

18

25

r，由勾股定理得：PQ=

4

5

BP=

24

25

r，
∵∠MON=∠BOP，
∴tan∠MON=tan∠BOP，
∴

PQ

OQ

=

DC

CO

，
∴

24 25 r

r- 18 25 r

=

4

6-r

，
r=0（舍去），r=

29

6

，
即⊙O的半径为

29

6

．

点评：本题考查了平行四边形性质和判定，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，题目综合性比较强，难度偏大．