Question

如下图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t(秒)．

(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

(2)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

(3)当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；

(4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如下图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形． 　　∴PM＝DC＝12∵QB＝16－t， 　　∴S＝×12×(16－t)＝96－t 　　(2)由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 　　①若PQ＝BQ．在Rt△PMQ中，， 　　由PQ2＝BQ2得，解得t＝； 　　②若BP＝BQ．在Rt△PMB中，．由BP2＝BQ2得： 　　即． 　　由于Δ＝－704＜0 　　∴无解，∴PB≠BQ 　　③若PB＝PQ．由PB2＝PQ2，得 　　整理，得．解得(不合题意，舍去) 　　综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 　　(3)如下图，由△OAP∽△OBQ，得 　　∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t． 　　∴t＝． 　　过点Q作QE⊥AD，垂足为E， 　　∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t． 　　在RT△PEQ中，tan∠QPE＝ 　　(4)设存在时刻t，使得PQ⊥BD．如下图， 　　过点Q作QE⊥ADS，垂足为E． 　　由Rt△BDC∽Rt△QPE，得 　　，即．解得t＝9 　　所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD．