Question

已知抛物线经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线顶点Q的坐标，且判断△ACQ的形状，并请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴在如图图象上，是否存在一点P，使得以P、A、B、C四个点为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案；
（2）首先过点Q作QH⊥y轴于点H，则QH=1，CH=1，可得出△QCH是等腰直角三角形，则∠QCH=45°，进而求出△AOC是等腰直角三角形，易得△ACQ的形状；
（3）利用梯形的性质一组对边平行，进而利用分类讨论得出符合题意的坐标．

解答：解：（1）设抛物线方程为y=ax²+bx+c（a≠0）
∵抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴所求抛物线的解析式为 y=-x²-2x+3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴点Q的坐标为（-1，4）．
过点Q作QH⊥y轴于点H，则QH=1，CH=1，
∴△QCH是等腰直角三角形，∴∠QCH=45°．
∵OA=3，OC=3，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠AOC=45°．
∴∠ACQ=90°，∴△ACQ是直角三角形．
（其他方法请参照给分）；

（3）当PC∥AB时，根据对称性可得P₁（-2，3），此时PC≠AB．
当PB∥AC时，设PB交y轴于D，
∵P′B∥AC，
∴△ACO∽△BDO，
∵AO=CO，
∴BO=DO，
∴D（0，-1），
设P′B的直线方程为y=kx+b，且点B（1，0）、D（0，-1）在直线上，
∴

k+b=0 0+b=-1

，即

k=1 b=-1

∴P′B的直线方程为y=x-1．
由

y=x-1 y=-x2-2x+3

解得

x=-4 y=-5

或

x=1 y=0

(舍去)，
∴P₂（-4，-5），此时P′B≠AC．
当PA∥BC时，则点P在抛物线对称轴的右边图象上，不合题意．
综上所述，符合题意的点P坐标是P（-2，3），P（-4，-5）．

点评：此题主要考查了梯形的判定以及待定系数法求二次函数解析式和等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论思想得出P点位置是解题关键．