Question

16．如图，直线y=$\frac{1}{3}$x+1与x轴，y轴分别相交于点A，C两点，点B在x轴上，连结BC，若∠ACB=135°，则点B的坐标为（　　）

• A． （1，0）
• B． （$\sqrt{2}$，0）
• C． （2，0）
• D． （$\sqrt{5}$，0）

Answer 1

分析 过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，根据直线解析式求得OC=1、OA=3，由∠ACB=135°知∠BCD=∠CBD=45°，从而可设BD=CD=x，证△AOC∽△ADB得$\frac{AO}{AD}$=$\frac{OC}{DB}$，即$\frac{3}{\sqrt{10}+x}$=$\frac{1}{x}$，解之可得x的值，可知BC=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{5}$，根据勾股定理求得OB的长可得答案．

解答 解：过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，

在直线y=$\frac{1}{3}$x+1中，当x=0时，y=1，即OC=1，
当y=0时，$\frac{1}{3}$x+1=0，
解得：x=-3，即AO=3，
∵∠ACB=135°，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴设BD=CD=x，
∵∠AOC=∠ADB=90°，∠OAC=∠DAB，
∴△AOC∽△ADB，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{OC}{DB}$，即$\frac{3}{\sqrt{10}+x}$=$\frac{1}{x}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{5}$，
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴点B的坐标为（2，0），
故选：C．

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．