Question

6．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC的中点，F为BC上一点，且∠ADB=∠CDF，连接AF．求证：AF⊥BD．

Answer 1

分析 作AM⊥BC交BD于H，易证△AHD≌△CFD，得到AH=CF，可证明△ABH≌△CAF，得到∠1=∠2，由∠2+∠BAF=90°得到∠1+∠BAF=90°，所以AF⊥BD．

解答 证明：作AM⊥BC交BD于H，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠HAD=∠C=∠BAH=45°，
在△AHD和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAD=∠C}\\{AD=DC}\\{∠ADB=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△CFD，
∴AH=CE，
在△ABH和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=CE}\\{∠C=∠BAH}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CAF，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠BAF=90°，
∴∠1+∠BAF=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AF⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，通过辅助线构造出两对全等三角形是解决问题的关键．