Question

12．如图，将矩形ABCG（AB＜BC）绕点C顺时针旋转90°后得到矩形CFED，点P是线段BD上的一个动点，连接AP、PE，则使∠APE为直角的点P的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．

解答 解：设两个矩形的长是a，宽是b．连接AE，如图在△AEM中，
根据勾股定理可得：
AE²=（a+b）²+（a-b）²=2a²+2b²；
过AE的中点M作MN⊥BD于点N．则MN是梯形ABDE的中位线，
则MN=$\frac{1}{2}$（a+b）；
以AE为直径的圆，半径是：$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$，
$\frac{1}{2}$（a+b）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b≤$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$，
而只有a=b是等号才成立，
因而 $\frac{1}{2}$（a+b）＜$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$，
即圆与直线BD相交，则直角顶点P的位置有两个．
故选C．

点评 本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．