Question

5．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（　　）

• A． 1
• B． 5
• C． 1或5
• D． 2或4

Answer 1

分析 由点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=1，若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．

解答 解：∵点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，
∴OC垂直平分AB，
∴DA=DB=3，
∴OD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，
则△POD∽△CPD，
∴$\frac{PD}{OD}=\frac{CD}{PD}$，
∴PD²=4×1=4，
∴PD=2，
∴PB=3-2=1，
根据对称性得，
当P在OC的左侧时，PB=3+2=5，
∴PB的长度为1或5，
故选C．

点评 本题考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键．