题目内容
1．
如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A-C-B的“折中点”，请解答以下问题：（1）当AC＞BC时，点D在线段AC上；
当AC=BC时，点D与C重合；
当AC＜BC时，点D在线段BC上；
（2）若AC=18cm，BC=10cm，若∠ACB=90°，有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s，设运动时间是t（s），求当t为何值，三角形PCD的面积为10cm2？
（3）若E为线段AC中点，EC=8cm，CD=6cm，求CB的长度．
分析 （1）根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图4，先表示PC=2t由折中点的定义得：AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；
（3）点D在线段AC上，由E为线段AC中点，EC=8，得到AC=2CE=16，根据线段的和差即可得到结论；点D在线段BC上，同理得AC=2CE=16，于是得到AD=AC+CD=16+6=22，根据线段的和差即可得到结论．
解答 解：（1）当AC＞BC时，如图1，点D在线段AC上；
当AC=BC时，如图2，点D与C重合；
当AC＜BC时，如图3，点D在线段BC上；
故答案为：AC，C，BC；
（2）如图4，由题意得：PC=2t，
∵AC=18，BC=10，
∴AC+BC=18+10=28，
∵D是折中点，
∴AD=14，
∴CD=18-14=4，
∵∠ACB=90°，
∴S△PCD=$\frac{1}{2}$CD•PC，
即10=$\frac{1}{2}$×4×2t，
t=$\frac{5}{2}$，
则当t为$\frac{5}{2}$秒时，三角形PCD的面积为10cm2；
（3）分两种情况：
①点D在线段AC上时，如图5，
∵E为线段AC中点，EC=8，
∴AC=2CE=16，
∵CD=6，
∴AD=AC-CD=16-6=10，
∵D为折中点，
∴AD=CD+BC
∴BC=AD-CD=10-6=4cm；
②点D在线段BC上，如图6，
∵E为线段AC中点，EC=8，
∴AC=2CE=16，
∵CD=6，
∴AD=AC+CD=16+6=22，
∵BD=AC+CD=22，
∴BC=BD+CD=22+6=28cm．
综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm．
点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了“折中点”的定义，线段中点的定义及线段的和与差，正确理解新概念“折中点”是解题的关键．
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