Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为2，求AC的长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据菱形的对称性可知S_菱形OCED=2S_△OCD，然后用AC表示出AB、BC，再根据矩形的性质利用三角形的面积公式列方程求解即可．

解答：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；

（2）解：∵四边形OCED是菱形，
∴S_菱形OCED=2S_△OCD，
∵∠ACB=30°，
∴AB=

1

2

AC，BC=

3

2

AC，
∴S_菱形OCED=

1

2

×

1

2

AC•

3

2

AC=2，
解得AC=

4 3

3

．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．