Question

20．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形ABCD的边至少满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，HG∥AB，HG=$\frac{1}{2}$AB，可得四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．

解答 解：（1）∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，

（2）需添加条件AB=CD．
∵E，H是AD，AC中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．