题目内容
15．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE．（1）依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
（2）若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB．将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′．
①如图2，当α=30°时，连接BC′．证明：EF=BC′；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段C′E′上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？
分析 （1）根据题画图，易证AC是BD的垂直平分线，得到ED=EB=BD，即可证明△BDE为等边三角形；
（2）①易证∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又DE=DB，DF=DC′于是△EDF≌△DBC′，得出结论；
②当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值．
解答 解：（1）补全图形，如图1所示； 
证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD，
∴EB=ED，
又∵ED=BD，
∴EB=ED=BD，
∴△EBD是等边三角形；
（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵点C与点F关于BD对称，
∴四边形BCDF为正方形，
∴∠FDC=90°，CD=FD，
∵∠CDC′=α=30°，
∴∠FDC′=60°，
由（1）△BDE为等边三角形，
∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，
∴∠EDF=∠BDC′，
又∵△E′DC′是由△EDC旋转得到的，
∴C′D=CD=FD，
∴△EDF≌△DBC′（SAS），
∴EF=BC′；
②线段PM的取值范围是：$\sqrt{2}-1≤PM≤2\sqrt{2}+1$．
设射线CA交BD于点O，
I：如图3（1）
当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．
此时DP=DO=$\sqrt{2}$，DM=1，
∴PM=DP-DM=$\sqrt{2}-1$，
II：如图3（2），
当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值．
此时DP=DE′=DE=DB=$2\sqrt{2}$，DM=1，
∴PM=DP+DM=$2\sqrt{2}+1$，
∴线段PM的取值范围是：$\sqrt{2}-1≤PM≤2\sqrt{2}+1$．
点评 本题主要考查了图形的旋转变换、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、以及图形中的最值问题的综合运用，第三小题通过画图找到极限位置是解决问题的关键．
如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE=4，CE=2，BC=6$\sqrt{3}$，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，求tanα的取值范围（ ）| A． | $\sqrt{3}$≤tanα＜$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$ | B． | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$＜tanα＜$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$ | C． | tanα=$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$＜tanα＜3$\sqrt{3}$ |
如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB延长线于点F．连接CF、BD、BE
如图，点A，B，C在一个已知圆上，通过一个基本的尺规作图作出的射线AP交已知圆于点D，直线OF垂直平分AC，交AD于点O，交AC于点E，交已知圆于点F．
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，先把△ABC沿x轴翻折，再把所得的图形沿y轴翻折，得到△A1B1C1| A． | x（x+1）=1035 | B． | $\frac{1}{2}$x（x+1）=1035 | C． | x（x-1）=1035 | D． | $\frac{1}{2}$x（x-1）=1035 |