Question

3．如图，AB切⊙O于点B，OA=5$\sqrt{5}$，tanA=$\frac{1}{2}$，弦BC∥OA
（1）求AB的长
（2）求四边形AOCB的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由∠A的正切值可设OB=x，则AB=2x，再利用勾股定理计算即可；
（2）过点O作OD⊥BC于点D，易证∠A=∠BOD，则tan∠BOD=tan∠A=$\frac{1}{2}$，进而可求出OD，BC的值，再利用梯形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠ABO=90°，
设OB=x，
在Rt△ABO中，tanA=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设OB=x，则AB=2x，
∵OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=5$\sqrt{5}$，
解得：x=5，
∴AB=10；
（2）过点O作OD⊥BC于点D，
∵BC∥OA，
∴∠AOB=∠DBO，
∵∠A+∠AOB=90°，∠BOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，OD=2$\sqrt{5}$，
∵OD⊥BC，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∴四边形AOCB的面积=$\frac{1}{2}$（OA+BC）OD=35．

点评 本题考查了切线的性质，用到的知识点有勾股定理、垂径定理、锐角三角函数以及梯形的面积公式，解题的关键是连接切点和圆心构造直角三角形，对于此类题目往往是过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．