如图.已知:AB是⊙O的直径.点C和动点P位于直径AB的两侧.点P在半圆弧AB上运动.直线PQ经过B点.AB=10．(1)如图1.当CP 经过圆心O时.求证:△PCB≌△ABC．(2)如图2.当点P在$\widehat{AB}$的中点时.求弦PB的长．(3)如图3.当PQ⊥AB时.过C 点作PQ的垂线CD.垂足为D点.若CD+BD=12.求线段CD被⊙O所截取的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C和动点P位于直径AB的两侧，点P在半圆弧AB上运动，直线PQ经过B点，AB=10．
（1）如图1，当CP 经过圆心O时，求证：△PCB≌△ABC．
（2）如图2，当点P在$\widehat{AB}$的中点时，求弦PB的长．
（3）如图3，当PQ⊥AB时（此时P点与B点重合），过C 点作PQ的垂线CD，垂足为D点，若CD+BD=12，求线段CD被⊙O所截取的弦CE的长．

分析（1）依据直径所对的圆周角等于90度可证明∠ACB=∠CBP=90°，接下来，依据同弧所对的圆周角相等可得到∠CAB=∠CPB，然后依据AAS可证明△PCB≌△ABC；
（2）连接OP．可得到△BOP为等腰直角三角形，然后由PB=$\sqrt{2}$OB求解即可；
（3）如图3所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点O作OG⊥CE，连接OE．首先证明△AFC∽△BDC，设CF=DB=x，则CD=12-x，AF=x-2．依据相似三角形的性质可求得：x=3或x=4，然后在△OEG中，依据勾股定理可求得GE的长，从而可得到CE的长．

解答解：（1）如图1所示：

∵AB和CP都是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠CBP=90°．
在△PCB和△ABC中$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠CBP=90°}\\{∠CAB=∠CPB}\\{AB=CP}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△ABC．
（2）如图2：连接OP．

∵点P在$\widehat{AB}$的中点，
∴∠BOP=90°．
∴PB=$\sqrt{2}$OB=5$\sqrt{2}$．
（3）如图3所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点O作OG⊥CE，连接OE．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠CAF=∠CBD．
∵CF⊥AB，CD⊥BQ，
∴∠AFC=∠BDC．
∴△AFC∽△BDC．
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{CD}{BD}$．
设CF=DB=x，则CD=12-x，AF=x-2．
∴$\frac{x}{2-x}=\frac{12-x}{x}$．
解得：x=3或x=4．
当x=3时，OG=3．
在△OEG中，GE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{G}^{2}}$=4．
∴CE=8．
当x=4时，OG=4．
在△OEG中，GE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{G}^{2}}$=3．
∴CE=6．
综上所述CE的长为6或8．