题目内容

已知：x₁、x₂是一元二次方程x²-4x+1的两个实数根．
求：（x₁+x₂）²÷（ $数学公式$ ）的值．

解：∵一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
∴（x₁+x₂）²÷（ $\text{[math]}$ ）
=4²÷ $\text{[math]}$
=4²÷4
=4．
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x₁与x₂的两根之积与两根之和的值，再根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即可解答．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

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，x₁•x₂=

，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：
已知x₁，x₂是一员二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的两个实数根．
（1）是否存在实数m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；
（2）若|x₁-x₂|=

，求m的值和此时方程的两根．

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-

．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
检验：先求x₁+x₂=

．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）的值；
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（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
检验：先求x₁+x₂=，x₁x₂=．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）的值；
②若a、b是方程x²+2x-2013=0的两个实数根，求代数式a²+3a+b的值．