Question

11．已知正方形ABC₁D₁的边长为1，延长C₁D₁到A₁，以A₁C₁为边向右作正方形A₁C₁C₂D₂，延长C₂D₂到A₂，以A₂C₂为边向右作正方形A₂C₂C₃D₃（如图所示），以此类推…．若A₁C₁=2，且点A，D₂，D₃，…，D_n+1都在同一直线上，则正方形A_nC_nC_n+1D_n+1的边长是$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 延长D₄A和C₁B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A₉C₉C₁₀D₁₀的边长．

解答 解：延长D₄A和C₁B交于O，
∵AB∥A₂C₁，
∴△AOB∽△D₂OC₂，
∴$\frac{OB}{O{C}_{2}}$=$\frac{AB}{{D}_{2}{C}_{2}}$，
∵AB=BC₁=1，D₂C₂=C₁C₂=2，
∴$\frac{OB}{O{C}_{2}}$=$\frac{AB}{{D}_{2}{C}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC₂=2OB，
∴OB=BC₂=3，
∴OC₂=6，
设正方形A₂C₂C₃D₃的边长为x₁，
同理证得：△D₂OC₂∽△D₃OC₃，
∴$\frac{2}{{x}_{1}}$=$\frac{6}{6+{x}_{1}}$，
解得，x₁=3，
∴正方形A₂C₂C₃D₃的边长为3，
设正方形A₃C₃C₄D₄的边长为x₂，
同理证得：△D₃OC₃∽△D₄OC₄，
∴$\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{9}{9+{x}_{2}}$，
解得x₂=$\frac{9}{2}$，
∴正方形A₃C₃C₄D₄的边长为 $\frac{9}{2}$；
设正方形A₄C₄C₅D₅的边长为x₃，
同理证得：△D₄OC₄∽△D₅OC₅，
∴$\frac{\frac{9}{2}}{{x}_{3}}$=$\frac{\frac{27}{2}}{\frac{27}{2}+{x}_{3}}$，
解得x=$\frac{27}{4}$，
∴正方形A₄C₄C₅D₅的边长为 $\frac{27}{4}$；
以此类推…．
正方形A_nC_nC_n+1D_n+1的边长为$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-2}}$，
故答案为长为$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-2}}$；

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键．