如图.四边形ABCD在平面直角坐标系中.BC平行x轴交y轴于E.BC=9.A．(1)求直线AB的解析式．.动点G从B出发以1个单位/秒的速度沿BC边向终点C运动.求△HGE的面积S与点G的运动时间t(秒)的函数关系式．的条件下.当t=$\frac{7}{2}$秒时.点G停止运动.此时直线GH与y轴交于点N.另一个点P开始从B出发.按B→A→D→C→B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，BC平行x轴交y轴于E，BC=9，A（-2，2），D（1，2），C（4，-2）．
（1）求直线AB的解析式．
（2）若H（-1，-l），动点G从B出发以1个单位/秒的速度沿BC边向终点C运动（点G不与点E重合），求△HGE的面积S与点G的运动时间t（秒）的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，当t=$\frac{7}{2}$秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N，另一个点P开始从B出发，按B→A→D→C→B的方向以l个单位/秒的速度沿四边形ABCD的边运动一周就停止运动．
①求直线GH的解析式和点N的坐标．
②设点P的运动时间为t秒，当△PHN是等腰三角形时，求满足条件的所有t的值．
（需要时可用结论：若直线l₁：y=k₁x+b₁与直线l₂：y=k₂x+b₂垂直，则k₁•k₂=-1）

分析（1）作AF⊥BC．已知点C的坐标BC=9，可求出CE=4，BE=5，又知道点C的坐标可求出点B的坐标．设直线AB的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求出解析式；
（2）本题要分两种情况讨论：首先当G在线段BE上且不与点E重合，可得GE=5-t，S=（5-t）×1×$\frac{1}{2}$，当G在线段CE上且不与点E重合，这时候GE=t-5，S=（t-5）×1×$\frac{1}{2}$，分别求出自变量的取值范围即可；
（3）如图可求出GE的长与点G的坐标后可得点N的坐标，根据题意利用等腰三角形的性质，分四种情况讨论．

解答解：（1）如图1，
∵BC平行x轴交y轴于E，BC=9，C（4，-2），∴BE=5，
∴B（-5，-2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-2k+b}\\{-2=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{14}{3}$；

（2）如图1，由题意得：
当点G在线段BE上且不与点E重合，
GE=5-t，
∴S=（5-t）×1×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{5}{2}$，（0≤t＜5），
当点G在线段CE上且不与点E重合，
GE=t-5，
S=（t-5）×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$（5＜t≤9）；

（3）①如图2，当t=$\frac{7}{2}$秒时，
GE=5-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴G（-$\frac{3}{2}$，-2），
∴直线的GH的解析式为：y=2x+1，
令x=0，则y=1，
∴N（0，1）
②由H（-1，-1），N（0，1），
求得直线HN的解析式为：y=2x+1，
∴直线HN与x轴的交点（-$\frac{1}{2}$，0），
∴HN的垂直平分线经过（-$\frac{1}{2}$，0），
∴其解析式为：y=-$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$，
与边AB交于P₁，与边BC交于P₂，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$：解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{59}{22}}\\{y=\frac{12}{11}}\end{array}\right.$，
∴P₁B=$\frac{85}{22}$，
当P₁H=P₁N时，点P运动到P₁处，
∴t₁=$\frac{85}{22}$，
与边BC交于p₂，
解方程组
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴t₂=$\frac{27}{2}$
∵AB=$\sqrt{{（5-2）}^{2}{+（2+2）}^{2}}$=5，CD=$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（2+2）}^{2}}=5$，
HN=$\sqrt{5}$，
当P₃N=HN时，点A与点P₃重合，
∴t₃=5，
当P₄N=HN=$\sqrt{5}$时，
∵直线CD的解析式为：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$，
设P₄[x，（$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$）]
∴${x}^{2}{+（-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}-1）}^{2}=5$，
解得：x₁=$\frac{28+6\sqrt{19}}{25}$（不合题意舍去），x₂=$\frac{28-6\sqrt{19}}{25}$（不合题意舍去），
当与边BC相交时，
p₅H=NH=$\sqrt{5}$时，
∵直线BC的解析式为：y=-2，
p₅（x，-2），
∴x²+（-2-1）²=5，
解得：x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$（舍去），
∴t₅=17-$\sqrt{5}$，
故满足条件的所有t的值为：
t₁=$\frac{85}{22}$，t₂=$\frac{27}{2}$，t₃=5，t₄=17-$\sqrt{5}$．