题目内容
3．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）、以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAF；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF，相交于点O，连接OC，求OC的长度．
分析 （1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得
解答 证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
（2）CF-CD=BC；与（1）同理可得△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF-CD=BC；
（3）①CD-CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2，且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，O为DF中点．
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=$\sqrt{2}$
点评 本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．
天天练口算系列答案
如图是一个风筝设计图，其中AB=BC，AD=CD，AC，BD交于点O，请判断AC与BD是否互相垂直，并说明理由．
如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长小5，求AC与AB的差．
李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为0.8m，当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离EF=30m，旗杆在教学楼墙上的影长FG=1.5m，求旗杆DE的高．
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，四边形DECF是正方形，AF与DE交于点G，AC=24，BC=8，求EG的长．