Question

2．如图，在△BAC中，∠A=90°，∠B=60°，作AD⊥BC，垂足为D，E为边AB上一点，联结CE交AD于点P，点F为线段CE上一点，且CF：EF=3：1，联结FD．
（1）求证：FD∥AB；
（2）当AB=2，且$\frac{{S}_{△DFP}}{{S}_{△AEP}}$=$\frac{4}{9}$时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）在△BAC中，∠A=90°，∠B=60°，得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{4}$BC，由于CF：EF=3：1，推出对应线段的比相等，两直线平行得到结论；
（2）由（1）证得DF∥AB，得到△DFP∽△AEP，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到$\frac{DF}{AE}$=$\frac{2}{3}$，然后列方程求得结果．

解答 （1）证明：在△BAC中，∠A=90°，∠B=60°，
∴设BD=k，则AB=2k，BC=4k，
∴CD：BC=3：4，
∵CF：EF=3：1，
∴CF：CE=3：4，
∴CD：BC=CF：CE，
∴FD∥AB；

（2）解：由（1）证得DF∥AB，
∴△DFP∽△AEP，
∴$\frac{{S}_{△DFP}}{{S}_{△AEP}}$=${（\frac{DF}{AE}）}^{2}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{2}{3}$，
由（1）得CD：BC=CF：CE=3：4．
∴DF=$\frac{3}{4}$BE，
设BE=x，AB=2，则AE=2-x，
∴$\frac{\frac{3}{4}x}{2-x}$=$\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{16}{17}$，即BE=$\frac{16}{17}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．