Question

如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：
①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=

3

R．
其中，使得BC=R的有（填正确结论的序号）

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：首先连接OD，由CD是⊙O的切线，可得OD⊥CD，然后由①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；可求得∠C的度数，即可得OC=2OD=2R，继而求得BC的长，又由④DC=

3

R，即可求得OC的长，继而求得BC=R．

解答：解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
①∵AD=CD，
∴∠A=∠C，
∵∠COD=2∠A，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD，
∵OD=OB，
∴BC=OB=R；

②∵∠A=30°，
∴∠COD=2∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD，
∵OD=OB，
∴BC=OB=R；

③∵∠ADC=120°，
∴∠ODA=30°，
∵OA=OD，
∴∠A=30°，
∴∴∠COD=2∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD，
∵OD=OB，
∴BC=OB=R；

④∵DC=

3

R，
∴OC=

DC2-OD2

=2R，
∴BC=OC-OB=R．
故答案为：①②③④．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．