Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将线段OP沿y轴正方向移动m（m＞0）个单位长度至O′P′，以O′P′为直角边在第一象限内作等腰直角△O′P′Q，若点Q在直线y=x上，则m的值为2或3．

Answer 1

分析 以O′P′为直角边在第一象限内作等腰直角△O′P′Q，需要分两种情况进行讨论，先根据等腰直角三角形的性质，判定全等三角形，再根据全等三角形的性质，得出对应边相等，最后根据线段的和差关系以及平移的方向，得出平移的距离即可．

解答 解：①如图所示，当△O′P′Q为等腰直角三角形时，过点P'作P'A⊥y轴于A，过Q作QB⊥y轴于B，则
∠O'AP'=90°=∠QBO'，∠P'O'Q=90°，
∴∠AO'P'+∠BO'Q=90°=∠O'QB+∠BO'Q，
∴∠AO'P'=∠O'QB，
又∵O'P'=QO'，
∴△O'AP'≌△QBO'，
∴AP'=BO'，AO'=BQ，
∵点P的坐标为（1，2），
∴由平移可得，AP'=1，AO'=2，
∴BO'=1，
当点Q在直线y=x上时，BQ=2=BO，
此时OO'=BO'+BO=1+2=3，
即平移的距离m为3；
②如图所示，过点P'作x轴的平行线交y轴于C，过点Q作y轴的平行线，交直线CP'于点D，
过点Q作QE⊥y轴于E，
同理可得，△O'CP'≌△P'DQ，
∴CE=DQ=CP'=1，DP'=CO'=2，
∴CD=EQ=1+2=3=OE，EO'=CO'-CE=2-1=1，
∴OO'=OE-O'E=3-1=2，
即平移的距离m为2，
故答案为：2或3．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及平移的性质，解决问题的关键是根据图形进行分类讨论，运用全等三角形的对应边相等进行计算求解．