Question

18．如图，直线y=x与直线y=2x-1相交于点B，过B作BA⊥y轴于点A，点A关于点B的对称点为A₁，过A₁作A₂A₃∥y轴交直线l₂于点A₂，过A₂作A₂A₃∥x轴交直线l₁于点A₃，…，按这个方式操作，则线段A₁₅A₁₆的长为（　　）

• A． 20
• B． 128
• C． 192
• D． 256

Answer 1

分析 联立两直线解析式成方程组，解方程组求出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出部分点A_n的坐标，利用两点间的距离公式求出部分线段A_2n-1A_2n的长度，根据线段长度的变化找出变化规律“A_2n-1A_2n=2^n-1（n≥2且n为正整数）”，依此规律即可求出线段A₁₅A₁₆的长．

解答 解：联立两直线解析式成方程组，$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线y=x与直线y=2x-1交点B（1，1），
∴点A（0，1），点A₁（2，1）．
∵过A₁作A₂A₃∥y轴交直线l₂于点A₂，过A₂作A₂A₃∥x轴交直线l₁于点A₃，…，
∴点A₂（2，3），点A₃（3，3），点A₄（3，5），点A₅（5，5），点A₆（5，9），点A₇（9，9），点A₈（9，17），
∴A₃A₄=2，A₅A₆=4，A₇A₈=8，
∴A_2n-1A_2n=2^n-1（n≥2且n为正整数），
∴A₁₅A₁₆=2⁷=128．
故选B．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类，根据线段长度的变化找出变化规律“A_2n-1A_2n=2^n-1（n≥2且n为正整数）”是解题的关键．