Question

4．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可；
（2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根据切线的判定推出即可．

解答 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，
理由是：①∵∠BAE=90°，
∴AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
②∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，
即AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
                                                 
（2）EF是⊙O的切线．                                             

证明：作直径AM，连接CM，
则∠ACM=90°，∠M=∠B，
∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°，
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAM+∠CAE=90°，
∴AE⊥AM，
∵AM为直径，
∴EF是⊙O的切线．

点评 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．