Question

20．定义：如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP²+BP²=AB²，则称点P为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y=-x²+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，$\sqrt{3}$）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S_△ABQ=S_△ABP的Q点（异于点P）的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线勾股点的定义即可得；
（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=$\sqrt{3}$、PA=2，由tan∠PAB=$\frac{PG}{AG}$=$\sqrt{3}$知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
（3）由S_△ABQ=S_△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为$\sqrt{3}$，据此求解可得．

解答 解：（1）抛物线y=-x²+1的勾股点的坐标为（0，1）；

（2）抛物线y=ax²+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∴AG=1、PG=$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵tan∠PAB=$\frac{PG}{AG}$=$\sqrt{3}$，
∴∠PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB=$\frac{PA}{cos∠PAB}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴点B坐标为（4，0），
设y=ax（x-4），
将点P（1，$\sqrt{3}$）代入得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x-4）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；

（3）①当点Q在x轴上方时，由S_△ABQ=S_△ABP知点Q的纵坐标为$\sqrt{3}$，
则有-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x₁=3，x₂=1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，$\sqrt{3}$）；
②当点Q在x轴下方时，由S_△ABQ=S_△ABP知点Q的纵坐标为-$\sqrt{3}$，
则有-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x=-$\sqrt{3}$，
解得：x₁=2+$\sqrt{7}$，x₂=2-$\sqrt{7}$，
∴点Q的坐标为（2+$\sqrt{7}$，-$\sqrt{3}$）或（2-$\sqrt{7}$，-$\sqrt{3}$）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，$\sqrt{3}$）或（2+$\sqrt{7}$，-$\sqrt{3}$）或（2-$\sqrt{7}$，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键．